Proyectos de Investigación Básica o Aplicada en Ingenierías o Biomédicas, 2019-1
Bartolomé Valero Larico; Oscar Raúl Condori Mamani; Wolfgang Kliemann .; Yaan Agustín Bedoya Barriga; Edgar Wilfredo Apaza Villalta; Maria Luisa Torreblanca Todco
Objetivo
Analizar las propiedades de controlabilidad, la existencia de conjuntos de control y la optimalidad sobre espacios homogéneos.
Resumen:
El objetivo principal de este proyecto es la extensión de los sistemas lineales de control, cuyo espacio de estados es un grupo de Lie, a los espacios homogéneos del grupo. En particular, el estudio de propiedades que permitan su aplicación. En primer lugar, es necesario encontrar condiciones topológicas, algebraicas y dinámicas que permitan proyectar estos sistemas sobre espacios cocientes para grupos de Lie Abelianos (Euclideanos y toros), nilpotentes (típicamente Heisenberg), solubles (típicamente traslaciones y rotaciones en espacios Euclideanos), semisimple (matrices que preservan volumen) y productos directos y semi-directos. Establecida la proyección, se debe analizar que propiedades del sistema original sobre el grupo persisten en el espacio cociente. Por ejemplo, la controlabilidad, esto es la propiedad que permite conectar dos estados arbitrarios del sistema a través de sus curvas integrales y en tiempo positivo; la existencia y forma de regiones de controlabilidad, denominadas conjuntos del control; y posteriormente,establecer el Principio del Máximo de Pontryagin sobre espacios homogéneos. En términos de aplicación, se propone el estudio de dos problemas de optimización: tiempo mínimo y energía mínima. Este último íntimamente relacionado con las estructuras sub-Riemannianas. Al concluir el proyecto se obtendrá un trabajo monográfico referente al proyecto de investigación.
Palabras clave
Grupos de Lie, espacios homogéneos, sistemas lineales, optimización, UNSA, AREQUIPA
Problema central
Los espacios de estados que aparecen en los modelos geométricos de la vida real son en muchos casos espacios homogéneos. Esto es, espacios cocientes de grupos de Lie de matrices por subgrupos cerrados. Por ejemplo, la esfera n-dimensional es el cociente del grupo de rotaciones (n+1)-dimensional por el grupo de rotaciones n-dimensional. Es relevante observar que nos movemos en un planeta cuya frontera es homeomeorfa a una esfera 2-dimensional. Para poder resolver problemas de optimización es necesario determinar si el sistema es controlable o no. En efecto, si se pretende alcanzar en tiempo mínimo un estado deseado Y a partir de una condición inicial X, es necesario que exista al menos una curva integral del sistema que conecta X con Y en tiempo positivo. Si la propiedad de controlabilidad no es válida en general, se deben restringir los problemas de optimización a regiones en donde esta propiedad se cumpla. Esto hace absolutamente necesario el estudio de la existencia y el cómputo de este tipo de regiones del espacio de estados, denominadas conjuntos de control. Resolver las ecuaciones diferenciales asociadas a toda la clase de controles de un sistema, no es posible en general. De modo que la búsqueda de relaciones topológicas-algebraicas-dinámicas que determinen controlabilidad y los conjuntos de control es muy relevante. Afortunadamente, existe abundante literatura acerca de los sistemas lineales de control sobre grupos de Lie, [9],[12],[14],[19],[35],[37]. Nuestra tarea es establecer cuáles de estas propiedades son todavía válidas sobre espacios homogéneos, describir las ecuaciones del Principio del Máximo de Pontryagin en este nuevo contexto, y enfrentar las posibles aplicaciones descritas a través de los dos problemas genéricos de optimización propuestos.
Hipótesis planteada
1. Algunas propiedades topológicas-dinámicas de X pueden proyectarse por π. 2. Existen casos en los que controlabilidad sobre ΣG/H implica controlabilidad sobre ΣG 3. Existen relaciones de tipo algebraico, geométrico y dinámico entre los conjuntos de control de ΣG y ΣG/H 4. Algunas clases de sistemas ΣG/H se pueden obtener de la proyección de ΣG. 5. Se puede computar el Principio del Máximo de Pontryagin para ΣG/H
Resultados esperados
1. Dos artículos científicos aceptados para publicación en revistas indizadas en la base SCOPUS o WEB OF SCIENCE (por parte de Investigadores UNSA, investigadores Junior, Co-investigadores extranjeros e Investigadora Principal)
2. Dos nuevos profesionales con título universitario, titulados con la opción de tesis formato artículo.
3. Ponencias de resultados intermedios y/o finales en eventos nacionales.
Así mismo se presentará:
Un trabajo monográfico relacionado a los Sistemas lineales sobre espacios homogéneos y aplicaciones.
Impactos esperados
Generación de nuevos conocimientos que puedan aplicarse en el desarrollo de proyecto de investigación multidisciplinaria y en desarrollo de equipos de investigación en la línea de investigación de Teoría de Control Geométrico de la Escuela Profesional de Matemáticas y del Departamento Académico de Matemáticas, a través de una monografía especializada.